漫谈表面张力现象


目录

  • 1、 表面张力与表面能
  • 2、 固体表面也有张力
  • 3、 浸湿现象
  • 4、 接触角
  • 5、 弯曲界面的压强差
  • 6、 毛细现象
  • 7、 为什么不是永动机?
  • 8、 表面热力学

1、 表面张力与表面能

表面张力存在于不同物态间的界面上,界面可以比喻为绷紧的橡皮膜,而表面张力使其具有收缩趋势,下面以荷叶上的水珠(液气表面)为例加以说明:
如图:设液体表面内有一分界线段a,实验证明,线段a左边的液面被向右拉,右边的液面被向左拉,力的方向垂直于线段a,大小为F=σL,σ称为张力系数,L为线段a的长度。F使液体表面趋于收缩。

图:表面张力示意图

表面能:设有一层薄液面箍在矩形铁丝里,铁丝宽为L的边可以滑动,从A滑到B移动了s,只考虑薄液面正面,则拉力做功W=Fs=σLs=σA,A为液面增加的面积。因此可规定表面能E=σA,即:形成面积为A的液体表面需要σA的能量。
从能量角度考虑,因为能量具有趋向最低的性质,所以液体会尽量收缩表面来减少表面能(例如水在太空中呈球形)。在8中我们会学到,表面能不是表面的内能,而是表面的自由能。当然这都是后话了。

图:表面能示意图

2、 固体表面也有张力

所有不同物态间都有表面张力和表面能,固体表面也有收缩趋势,只不过因为太硬了所以一般不会收缩。
下文中我将以σ1、σ2、σ3分别表示气液、固液、固气表面张力系数,如果没有角标,则代表气液张力系数。

 

3、 浸湿现象

浸湿指一块固体能浸入液体的现象,当表面积为A的固体从气体进入液体时,失去了σ3A的表面能,得到了σ2A的表面能,总能量变化了ΔE=(σ2-σ3)A。
ΔE<0 (σ3>σ2)是自发的过程,此时固体能浸入液体中。
ΔE>0 (σ3<σ2)不是自发的过程,比如有些昆虫能在水上滑行不会沉下去。
注意不浸湿和浮力不是一回事。

 

4、接触角

液体与固体接触时,在边界上会形成一个夹角θ,称为接触角,接触角只与σ1、σ2、σ3有关。下面推导接触角公式(杨氏公式):

图:杨氏公式图解

如图,以固液气的交界线为对象作受力分析(分界线长为L,垂直于纸面所以看不到)受三个表面张力,F1=σ1A, F2=σ2A, F3=σ3A,三力横向平衡,即F2+ F1COSθ=F3
化简得:cosθ=(σ3-σ2)/σ1

图:浸润的5种情况

上图是浸润角取0~180的五种情况,水滴在玻璃上属于第二种情况,而汞滴在玻璃上接近第五种情况。
细心的同学可能发现,杨氏公式的右边可以>1,或<-1,此时cosθ无意义。
解释:
cosθ>1表示F3太大,液体理论上可以再固体表面无限延伸,这称为铺展现象
cosθ<-1则属于第五种情况

 

5、 弯曲界面的压强差

弯曲界面两边会产生压强差,这是表面张力的又一体现,推导如下:

图: 弯曲界面的压强差示意图

如图,ABCD是一个微小的矩形液体表面,设下面压强比上面大Δp,过A作AE垂直于液面,液面受到来自AB,BC,CD,AD四个分界线的张力,我们只考虑垂直于AE的力,即CD和BC上的力。
AD、AB是以r1和r2为半径,α、β为圆心角的微小圆弧,CD=AB=βr2    , BC=AD=αr1 。 则F1=σβr2  , F2=σαr1
它们在AE方向的分力分别为σαβr2和σαβr1(α和β很小,近似sinα=α,sinβ=β)
因为受力平衡,所以Δp*A=σαβr2+σαβr1 (A是ABCD的面积)
又A=BC*CD=αβr1 r2,代入上式得:

这称为拉普拉斯公式,他描述了压强差和曲率的关系,界面凹向的压强高于突起处的压强,根据数学上的定理,AB AD无论向哪个方向取,只要它们垂直,公式就适用
根据这个公式,我们可以得到水柱的内外压强差是 σ/r ,水球内外压强差是2σ/r,肥皂泡内外的压强差是4σ/r(因为肥皂泡有内外两个界面)。
这个公式是推导毛细现象的基础。

6、 毛细现象

最常见的毛细现象是毛巾吸水。为了简化物理模型,我们讨论液体在很细的管子(毛细管)中的上升现象。

图:毛细现象图解

如图,液体密度为ρ,重力加速度g,毛细管半径为r,液面曲率半径为R,接触角θ,求上升高度h?
解:P2是液体自由面的压强,也是大气的压强,p1是凹液面下方的压强,有p2-p1=ρgh
又因为p1也是液面上方的大气压,根据拉普拉斯公式p2-p1=2σ/R=2σcosθ/r
两式联立化简得:

第二个等号是把接触角公式代入的结果。
当液体时水银时,接触角cosθ取负,h也取负,这说明水银在毛细管中会低于自由液面。

7、 为什么不是永动机?

如果提前计算好上升高度h,并让毛细管的高度低于h,能否看到水从管口喷涌而出呢?
答:不会。
原因:当液体上升到管口时,液面曲率半径会增大以减少压强差使系统仍然平衡。

 

8、表面热力学

表面系统有自己的热力学函数,根据热力学基本方程dU=TdS-dW,dW=-σdA ,得
dU=TdS+σdA ,得自由能的全微分dF=-SdT+σdA
对F求A的偏导数(T不变),得dF/dA=σ,积分得F=σA ,
此处不含积分常数,因为A=0时F=0