三次、四次方程的解法

三次方程

三次方程一般形式:

做代换 x=y-b/(3a) ,并将两边除以a,化为标准形式:

判别式:

Δ>0 时有一个实根和一对共轭复根,Δ≤0 时有三个实根。求根公式(塔塔利亚公式):

可以看出,Δ>0 时 r1 是实根,r2 和 r3 是一对共轭复根。
Δ<0 时,求根公式的中间过程涉及到复数开立方这种复杂的几何问题,但不影响最终结果三个根全都是实数。
注意最终一定要用 y=x+b/(3a) 代换回去。

塔塔利亚公式的推导:
不同于二次方程的配方,而是假设根有 ³√A+³√B 的形式,再代入 x^3+px+q=0 确定A和B。读者不妨自行尝试。

 

 

四次方程

四次方程的求根公式很复杂,详见费拉里公式,本文从略,只讲一种特殊的四次方程:

判别式:

Δ≥0 时有两个实根和一对共轭复根,Δ<0 时有两对共轭复根。引入中间量k:

求根公式(只求实根):

 

 

更高次的方程

五次及以上的方程不存在统一的根式解,但不代表无解。比如五次方程的解就可以用一些超越函数表达。